Question

【题目】动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是 ∶ ，记点 的轨迹为 .
（1）求曲线 的方程；
（2）对于定点 ，作过点 的直线 与曲线 交于不同的两点 ， ，求△ 的内切圆半径的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）由题意，得 ，整理得 ，

所以曲线C的方程为 .

（2）设 ，又设 的内切圆的半径为r，

易知 为椭圆 的左、右焦点，

所以 的周长为4a=8， ，

因此 面积最大，r就最大。

.

由题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为 ，

由 ，得 ，

所以， ， .

又因直线l 与椭圆C 交于不同的两点，

所以△>0，即 ，则

，

令 ，则 ，

令 ，则 .

所以函数 在 上是单调递增函数，

即当 时， 在 上单调递增，

因此有 ，所以

即当t=1，m=0时， 最大，此时 ，

故当直线L的方程为x=1时， 内切圆半径的最大值为 .

【解析】本小题主要考查轨迹方程的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性．