Question

已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线y²=16x的焦点P为其一个焦点，以双曲线

x2

16

-

y2

9

=1的焦点Q为顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点A（-1，0），B（1，0），且C、D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M是线段CD上的动点，求

AM

•

BM

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知P（4，0），点Q（5，0），设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，且a=5，c=4，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设M（x₀，y₀），线段CD方程为

x

5

+

y

3

=1，即y=-

3

5

x+3(0≤x≤5)，由点M是线段CD上，知y0=-

3

5

x0+3(0≤x0≤5)，由此能求出

AM

•

BM

的取值范围．

解答：解：（1）由已知得点P为（4，0），点Q为（5，0）…（2分）
∴可设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，且a=5，c=4…（3分）
∴b²=25-16=9，故椭圆的标准方程为

x2

25

+

y2

9

=1．…（5分）
（2）设M（x₀，y₀），线段CD方程为

x

5

+

y

3

=1，即y=-

3

5

x+3(0≤x≤5)…（7分）
∵点M是线段CD上，∴y0=-

3

5

x0+3(0≤x0≤5)
又

AM

=(x0+1，y0)，

BM

=(x0-1，y0)，
∴

AM

•

BM

=

x

2 0

+

y

2 0

-1，…（10分）
将y0=-

3

5

x0+3(0≤x0≤5)代入得：

AM

•

BM

=

x

2 0

+(-

3

5

x0+3)2-1
∴

AM

•

BM

=

34

25

x

2 0

-

18

5

x0+8=

34

25

(x0-

45

34

)2+

191

34

…（12分）
∵0≤x₀≤5，
∴

AM

•

BM

的最大值为24，

AM

•

BM

的最小值为

191

34

．
∴

AM

•

BM

的取值范围是[

191

34

，24]．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法和求

AM

•

BM

的取值范围．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．