Question

设O为原点，圆x²+y²=8内有一点P（1，2），AB和CD为过点P的弦．
（1）当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；
（2）若

OA

•

OB

=1，求直线AB的斜率；
（3）若AB⊥CD，求四边形ABCD面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，OP⊥AB，结合直线垂直的条件可求K_AB，即可求解
（2）①若AB的斜率不存在，可求出设A，B，进而可求

OA

•

OB

②若直线AB的斜率存在，设直线AB为y-2=k（x-1），联立直线与圆的方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，代入

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂，结合已知可求k
（3）设∠OPC=θ，则点O到直线AB的距离d₁=|OP|sinθ，|AB|=2

r2-d12

=2

8-5sin2θ

，O到CD的距离d₂=|OP|cosθ=

5

cosθ，|CD|=2

r2-d22

，代入四边形ABCD的面积S=

1

2

|AB||CD|，结合三角函数可求最值

解答：解：（1）若弦AB被P平分，则OP⊥AB
∵K_AP=2
∴K_AB=-

1

2

∴直线AB方程为y-2=-

1

2

（x-1）即x+2y+5=0
（2）①若AB的斜率不存在，则不妨设A（1，

7

），B（1，-

7

）
∴

OA

•

OB

=-6不合题意，舍去
②若直线AB的斜率存在，设直线AB为y-2=k（x-1）
由

y=kx+2-k x2+y2=8

可得（1+k²）x²+（4k-2k²）x+k²-4k-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则x₁+x₂=

2k2-4k

1+k2

，x₁x₂=

k2-4k-4

1+k2

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+[kx₁+（2-k）][kx₂+（2-k）]
=（1+k²）x₁x₂+k（2-k）（x₁+x₂）+（2-k）²
=k²-4k-4+

(2k-k2)(2k2-4k)

1+k2

+(2-k)2=1
∴7k²+8k+1=0
解可得，k=-

1

7

或k=-1
故直线AB的斜率为-1或-

1

7

（3）设∠OPC=θ，则点O到直线AB的距离d₁=|OP|sinθ=

5

sinθ
∴|AB|=2

r2-d12

=2

8-5sin2θ

同理O到CD的距离d₂=|OP|cosθ=

5

cosθ
∴|CD|=2

r2-d22

=2

8-5cos2θ

∴四边形ABCD的面积S=

1

2

|AB||CD|=2

(8-5sin2θ)(8-5cos2θ)

=2

24+25sin2θcos2θ

=2

24+ 25 4 sin22θ

∴S_max=11，Smin=4

6

点评：本题主要考查了直线位置关系的应用，直线与圆相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，三角函数在求解最值中的应用．