Question

四个半径为1的球彼此相切，三个在水平面上，第四个在它们的上面．其中，给出一个边长为a的正四面体，使得任一球与该正四面体的三个面相切，求实数a的值．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：四个球的球心是边长为2的正四面体的顶点，过点A的高交底面BCD于点G，则G为△ABC的重心．与球都外切的四面体的各面到球心四面体ABCD相应各面的距离都是1，仍然是一个正四面体，于是将△AEG扩展为该四面体中相应的△A₁E₁G₁，进而求出相应四面体的棱长，可得答案．

解答： 解：四个球的球心是边长为2的正四面体的顶点，
设该四面体为ABCD．
过点A的高交底面BCD于点G，
则G为△ABC的重心．
取BC的中点E，画出平面图形△AEG，如图所示．
与球都外切的四面体的各面到球心四面体ABCD相应各面的距离都是1，仍然是一个正四面体，…（5分）
于是将△AEG扩展为该四面体中相应的△A₁E₁G₁，只须分别作A₁E₁∥AE，E₁G₁∥EG，平行线间距均为1，即可得到△A₁E₁G₁，通过△AEG求出△A₁E₁G₁的边，
进而可求出a的值．…（5分）
事实上，易知AE=

3

2

AC=

3

，EG=

1

3

DE=

3

3

，AG=

AE2-EG2

=

2 6

3

，

AA1

AE

=

1

EG

，
所以AA1=

AE

EG

=3．
所以A1G1=A1A+AG+GG1=4+

2

3

6

．
又因为

A1G1

A1E1

=

A1G1

3 2 a

=

AG

AE

，
得a=

A1G1•AE

3 2 AG

=2+2

6

．…（15分）

点评：本题考查的知识点是球的几何特征，球与平面相切的几何特征，考查空间想像能力和计算能力，难度较大，属于难题．