Question

【题目】[不等式选讲]

设函数f（x）=a（x﹣1）．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；
（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，求证： ．

Answer 1

【答案】解：（ I）当a=1时，不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x
当x≤﹣1时，得1﹣x﹣x﹣1≥3xx≤0，∴x≤﹣1当﹣1＜x＜1时，得1﹣x+x+1≥3x ，∴ ，当x≥1时，得x﹣1+x+1≥3xx≤0，与x≥1矛盾，
综上得原不等式的解集为 = （II）证明：|f（x2）+x|=|a（x2﹣1）+x|≤|a（x2﹣1）|+|x|∵|a|≤1，|x|≤1
∴|f（x2）+x|≤|a|（1﹣x2）+|x|≤1﹣x2+|x|= ，当 时取“=”，得证．
【解析】（Ⅰ）当a=1时，不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x，分类讨论，即可解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，|f（x2）+x|≤|a|（1﹣x2）+|x|≤1﹣x2+|x|，即可证明： ．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．