Question

已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且准线方程为直线l过M（1，0）与抛物线交于A，B两点，点P在y轴的右侧且满足（O为坐标原点）。

（Ⅰ）求抛物线的方程及动点P的轨迹方程；

（Ⅱ）记动点P的轨迹为C，若曲线C的切线斜率为，满足，点A到y轴的距离为a，求a的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意知抛物线的方程为

∴p=1，抛物线的方程为      

直线l的斜率不存在时，直线l与抛物线交于一点，不符合题意。

于是设直线l的方程为

联立 

设两交点为

则△=4k²－8k>0  

∴   

设

∵

∴

消去k得    

又∵P点在y轴的右侧  ∴x>0，

又∵  

∴动点P的轨迹方程为

（Ⅱ）∵曲线C的方程为   

∴切线斜率   ∴  

∵，又

∴

∴

解得  

∴ 

∴a的取值范围是：