Question

对任意x∈R，给定区间[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈Z），设函数f（x）表示实数x与x的给定区间内整数之差的绝对值．
（1）写出f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=log_a

x

，（e-

1

2

＜a＜1），试证明：当x＞1时，f（x）＞g（x）；当0＜x＜1时，f（x）＜g（x）；
（3）求方程f（x）-log_a

x

=0的实根，（e-

1

2

＜a＜1）．

Answer 1

分析：（1）根据条件函数f（x）表示实数x与x的给定区间内整数之差的绝对值，可知k为与x最近的一个整数，因此可以求得f（x）的解析式；
（2）要证当x＞1时，f（x）＞g（x）求出f（x），易证成立；当0＜x＜1时，分情况讨论，f（x）＜g（x）求出f（x），利用导数求函数H（x）=g（x）-f（x）=

1

2

log_ax-（1-x），（

1

2

＜x＜1）．的最小值即可证明结论；
（3）根据（2）易求1就是方程的实根．

解答：解：（1）当x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈Z）时，由定义知：k为与x最近的一个整数，故
f（x）=|x-k|，x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈Z）．
（2）①当x＞1时，|x-k|≥0＞

1

2

log_ax，所以f（x）＞g（x）；
②当

1

2

＜x＜1时，设H（x）=g（x）-f（x）=

1

2

log_ax-（1-x），（

1

2

＜x＜1）．
则H′（x）=

1

2

•

1

x

log_ae+1=

1

2xlna

+1＜

1

1xlne- 1 2

+1=-

1

x

+1＜0，
所以当

1

2

＜x＜1时，H（x）为减函数，H（x）＞H（1）=0，故f（x）＜g（x）；
③当0＜x≤

1

2

时，设G（x）=g（x）-f（x）=

1

2

log_ax-x，
明显G（x）为减函数，G（x）≥G（

1

2

）=H（

1

2

）＞0，故f（x）＜g（x）．
另证：g（x）=

1

2

log_ax＞

1

2

log_a

1

2

=

1

2

loga4-

1

2

＞

1

2

logae-

1

2

＞

1

2

log_aa=

1

2

=f（

1

2

）＞f（x）．
（3）由（2），容易验证x=1为方程|x-k|-

1

2

log_ax=0的实根，所以，若e-

1

2

＜a＜1，方程f（x）-log_a

x

=0有且仅有一个实根，实根为1．

点评：此题是个中档题．考查分段函数的应用．解决分段函数的问题，一定分段求解，体现了分类讨论的数学思想和方法，同时考查了学生的阅读能力和分析解决问题的能力和计算能力．