Question

【题目】已知直线y=﹣x+1与椭圆 + =1（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为 ，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量 与向量 互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[ ， ]时，求椭圆的长轴长的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，2c=2，

∴a= ，b= ，

∴椭圆的方程为 ．

联立 ，消去y得：5x2﹣6x﹣3=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， ，

∴|AB|=

=

= ．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵ ，∴ ，

即x1x2+y1y2=0，

由 ，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，

由△=（﹣2a2）2﹣4a2（a2+b2）（1﹣b2）＞0，整理得a2+b2＞1

∵ ， ，

∴y1y2=（﹣x1+1）（﹣x2+1）=x1x2﹣（x1+x2）+1，

∴x1x2+y1y2=0，得：2x1x2﹣（x1+x2）+1=0，

∴ ，

整理得：a2+b2﹣2a2b2=0．

∴b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2，代入上式得

2a2=1+ ，∴ ，

∵ ，

∴ ，∴ ，

∴ ，∴ ，

∴ 适合条件a2+b2＞1．

由此得 ，∴ ，

故长轴长的最大值为 ．

【解析】（1）由椭圆的离心率为 ，焦距为2，求出椭圆的方程为 ．联立 ，消去y得：5x2﹣6x﹣3=0，再由弦长公式能求求出|AB|．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由 ，知x1x2+y1y2=0，由 ，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，再由根的判断式得到a2+b2＞1，利用韦达定理，得到a2+b2﹣2a2b2=0．由此能够推导出长轴长的最大值．