Question

9．已知曲线C：y=4ax³+x，过点Q（0，-1）作C的切线l，切点为P．
（1）求证：不论a怎样变化．点P总-在一条定直线上；
（2）若a＞0，过点P且与1垂直的直线与x轴交于点T，求OT的最小值（0为坐标原点）．

Answer 1

分析 （1）设P（x₀，y₀），求出函数的导数，求得切线的斜率，再由两点的斜率公式，计算即可得证；
（2）运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由直线方程的点斜式，可得PT的方程，令y=0，可得|OT|，再由基本不等式可得最小值．

解答 （1）证明：设P（x₀，y₀），则y₀=4ax₀³+x₀，
由y=4ax³+x的导数为y′=12ax²+1，
则以P为切点的切线的斜率为k=12ax₀²+1，
由于切线经过切点（0，-1），
可得切线的斜率为$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$=$\frac{4a{{x}_{0}}^{3}+{x}_{0}+1}{{x}_{0}}$=12ax₀²+1，
解得x₀=$\frac{1}{2\root{3}{a}}$，即有y₀=4ax₀³+x₀=x₀+$\frac{1}{2}$，
则切点P总在直线y=x+$\frac{1}{2}$上；
（2）解：由l的斜率为$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$，可得PT的斜率为-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$，
则PT的方程为y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$（x-x₀），
令y=0，可得PT与x轴交点的横坐标为x=x₀+$\frac{{y}_{0}（{y}_{0}+1）}{{x}_{0}}$=2+2x₀+$\frac{3}{4{x}_{0}}$，
在（1）中，x₀=$\frac{1}{2\root{3}{a}}$，又a＞0，则x₀＞0，
则|OT|=2+2x₀+$\frac{3}{4{x}_{0}}$≥2+2$\sqrt{2{x}_{0}•\frac{3}{4{x}_{0}}}$=2+$\sqrt{6}$，
当且仅当2x₀=$\frac{3}{4{x}_{0}}$，即有x₀=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，等号成立，
则OT的最小值为2+$\sqrt{6}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，考查两直线垂直的条件，考查基本不等式的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．