Question

1．如图，平面ABE⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，∠CBA=90°，AD∥BC∥EF，△ABE为等边三角形，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，AD=4，EF=3
（Ⅰ）求证：平面CDF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线AF与平面CDF所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB，CD的中点H，G，连接GH，GF，EH，证明：四边形EFGH是平行四边形，FG∥EH，EH⊥平面ABCD，可得FG⊥平面ABCD，即可证明平面CDF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）连接AG，证明∠AFG为直线AF与平面CDF所成角，即可求直线AF与平面CDF所成角的正切值．

解答 （Ⅰ）证明：如图所示，取AB，CD的中点H，G，连接GH，GF，EH，则HG∥AD∥BC∥EF，
∵BC=2，AD=4，∴HG=3，
∵EF=3，∴EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，∴FG∥EH
∵△ABE为等边三角形，∴EH⊥AB，
∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，
∴EH⊥平面ABCD，
∴FG⊥平面ABCD，
∵FG?平面CDF，
∴平面CDF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：连接AG，由题意，可得CD=4，∠ADC=60°，∵AD=4，∴AG=2$\sqrt{3}$，
∴AG⊥GD，
∵平面CDF⊥平面ABCD，平面CDF∩平面ABCD=CD
∴AG⊥平面CDF，∴∠AFG为直线AF与平面CDF所成角，
∵AG=2$\sqrt{3}$，FG=3，
∴tan∠AFG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即直线AF与平面CDF所成角的正切值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．