Question

7．已知函数f（x）=a^2x-2a^x+1+2（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若f（-1）=$\frac{1}{4}$，求函数g（x）=f（x）+1的所有零点；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为-7，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）先根据f（-1）=$\frac{1}{4}$求出a，再求g（x）=f（x）+1的零点；
（2）先将函数配方为f（x）=a^2x-2a•a^x+2=（a^x-a）²+2-a²，再根据二次函数性质求最小值．

解答 解：（1）∵f（-1）=a^-2-2a⁰+2=$\frac{1}{4}$，
∴a^-2=$\frac{1}{4}$，解得a=2，
所以，f（x）=2^2x-4•2^x+2，
令g（x）=f（x）+1=2^2x-4•2^x+3=0，
解得，2^x=1或2^x=3，所以，x=0或x=log₂3，
即g（x）的零点为：x=0或x=log₂3；
（2）f（x）=a^2x-2a•a^x+2=（a^x-a）²+2-a²，
当a^x=a时，即x=1，函数f（x）取得最小值，
f（x）_min=f（1）=2-a²=-7，
即a²=9，解得a=±3，
由于a＞0且a≠1，
所以，a=3．

点评 本题主要考查了复合函数的性质，函数零点的确定，用到配方和数形结合的解题思想，属于中档题．