Question

（05年湖南卷理）（14分）

    已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax²＋bx，a≠0.

   （Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

   （Ⅱ）设函数f(x)的图象C₁与函数g(x)图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，证明C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

 

Answer 1

解析：（I），

则

因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解.

又因为x>0时，则ax²+2x－1>0有x>0的解.

①当a>0时，y=ax²+2x－1为开口向上的抛物线，ax²+2x－1>0总有x>0的解；

②当a<0时，y=ax²+2x－1为开口向下的抛物线，而ax²+2x－1>0总有x>0的解；

  则△=4+4a>0,且方程ax²+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0.

  综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）.

   （II）证法一  设点P、Q的坐标分别是（x₁, y₁），（x₂, y₂），0<x₁<x₂.

         则点M、N的横坐标为

         C₁在点M处的切线斜率为

         C₂在点N处的切线斜率为

         假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂.

         即，则

                 =

       所以  设则①

       令则

       因为时，，所以在）上单调递增. 故

       则. 这与①矛盾，假设不成立.

       故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

证法二：同证法一得

       因为，所以

       令，得  ②

       令

       因为，所以时，

       故在[1，+上单调递增.从而，即

       于是在[1，+上单调递增.

       故即这与②矛盾，假设不成立.

       故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.