Question

【题目】已知A、B为椭圆（）和双曲线的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且（，），设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为、、、.

（1）若，求的值（用a、b的代数式表示）；

（2）求证：；

（3）设、分别为椭圆和双曲线的右焦点，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）8．

【解析】

（1）根据平面向量的线性运算可得，设点，，将两点分别代入双曲线方程和椭圆方程并求解可得，，从而可求；

（2）设点P，Q的坐标分别为，，将点P的坐标代入双曲线方程变形可得，则，同理可得，相加即可证明结论；

（3）由（2），，又，则，，从而，解得，，因为O，P，Q三点共线且，所以，则，可求，结合①可得，再求，同理可求和，由此即可求得结果.

（1）如图，，，

，，

若，则，设点，，

将两点分别代入双曲线方程和椭圆方程中得：，，

解得，，，故；

（2）设点P，Q的坐标分别为，，

则，即，

所以，①，

同理，②，由（1）知，O，P，Q三点共线，

，由①②得，；

（3）由（2），，又，则，

即，，从而，又，

解得，，

因为O，P，Q三点共线且，所以，

则，所以，

由①得，同理，

另一方面，，类似地，，

故.