Question

已知函数数f（x）=x+

a

x

（x≠0），
（1）写出函数f（x）的单调区间；
（2）当a=2时，用定义证明函数数f（x）在[

2

，+∞）上为增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的单调性及单调区间

专题：函数的性质及应用

分析：（1）可通过求导证明函数f（x）的单调性，进而写出单调区间．
（2）设

2

＜x₁＜x₂＜+∞，则证明f（x₂）＞f（x₁）即可．

解答： 解：（1）解：函数f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
证明如下：
∵f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，
令f′（x）＞0，解得：x＞

a

，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

a

，
∴函数f（x）在（0，

a

）递减，在（

a

，+∞）递增．
（2）设

2

＜x₁＜x₂＜+∞，则有
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

2

x1

-x₂-

2

x2

=（x₁-x₂）（

x1x2-2

x1x2

）
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即有f（x₂）＞f（x₁）
由此可证函数数f（x）在[

2

，+∞）上为增函数．

点评：本题主要考察了函数的单调性，考查单调性的证明问题，本题属于基础题．