Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣2|．
（1）若函数f（x）的值域为[﹣4，4]，求实数m的值；
（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集为M，且[2，4]M，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由不等式的性质得：||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|

因为函数f（x）的值域为[﹣4，4]，

所以|m﹣2|=4，

即m﹣2=﹣4或m﹣2=4

所以实数m=﹣2或6

（2）解：f（x）≥|x﹣4|，即|x﹣m|﹣|x﹣2|≥|x﹣4|

当2≤x≤4时，|x﹣m|≥|x﹣4|+|x﹣2||x﹣m|≥﹣x+4+x﹣2=2，|x﹣m|≥2，

解得：x≤m﹣2或x≥m+2，

即原不等式的解集M=（﹣∞，m﹣2]或M=[m+2，+∞），

∵[2，4]M，

∴m+2≤2m≤0或m﹣2≥4m≥6

所以m的取值范围是（﹣∞，0]∪[6，+∞）

【解析】（1）由不等式的性质得：||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|，即|m﹣2|=4，解得实数m的值；（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集M=（﹣∞，m﹣2]或[m+2，+∞），结合[2，4]M，可求实数m的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的值域的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．