Question

1．a是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为a的差倒数，如：2的差倒数是$\frac{1}{1-2}$=-1，-2的差倒数为$\frac{1}{1-（-2）}$=$\frac{1}{3}$．已知a₁=-$\frac{1}{3}$，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，依此类推．根据你对差倒数的理解完成下面问题：
（1）a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=4，a₄=-$\frac{1}{3}$；
（2）通过（1）中的结果计算a₂₀₁₃的值．

Answer 1

分析 （1）把a₁代入差倒数的关系式，计算出a₂，a₃，a₄…，；
（2）由（1）得a_n+3=a_n，即{a_n}是一个周期为3的数列，再根据周期求解．

解答 解：（1）根据题设条件，由a₁=-$\frac{1}{3}$得，
a₂=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，
a₃=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，
a₄=$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$=a₁，
故答案为：$\frac{3}{4}$；4；-$\frac{1}{3}$．
（2）由（1）可知，a_n+3=a_n，
即{a_n}是一个周期为3的数列，
且前三项分别为：-$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，4，数值周期往复，
因此，a₂₀₁₃=a_670×3+3=a₃=4．

点评 本题主要考查了探究数字的变化规律，理解差倒数的定义，涉及数列的周期性，属于中档题．