Question

4．已知等差数列{a_n}中a₁=19，a₄=13，S_n为{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求通项a_n及S_n；
（Ⅱ）令c_n=b_n-a_n，且数列{c_n}是前三项为x，3x+3，6x+6的等比数列，求b_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列通项公式求出首项和公差，由此能求出通项a_n及S_n．
（Ⅱ）由数列{c_n}是前三项为x，3x+3，6x+6的等比数列，求出x=-3，从而得到等比数列{c_n}中c_n=（-3）•2^n-1．由此能求出b_n．

解答 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}中a₁=19，a₄=13，S_n为{a_n}的前n项和，
∴a₄=19+3d=13，解得d=-2，
∴a_n=19+（n-1）×（-2）=21-2n．
${S}_{n}=19n+\frac{n（n-1）}{2}×（-2）$=20n-n²．
（Ⅱ）∵数列{c_n}是前三项为x，3x+3，6x+6的等比数列，
∴（3x+3）²=x（6x+6），
解得x=-1（舍）或x=-3，
∴等比数列{c_n}前3项为-3，-6，-12，
∴c_n=（-3）•2^n-1．
∵c_n=b_n-a_n，
∴b_n=c_n+a_n=（-3）•2^n-1+21-2n．

点评 本题考查数列的通项公式及前n项和公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．