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已知函数f(x)=ax3+bx2+(b-a)x(a,b不同时为零的常数),导函数为f′(x).
(1)当数学公式时,若存在x∈[-3,-1]使得f′(x)>0成立,求b的取值范围;
(2)求证:函数y=f′(x)在(-1,0)内至少有一个零点;
(3)若函数f(x)为奇函数,且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0,关于x的方程数学公式在[-1,t](t>-1)上有且只有一个实数根,求实数t的取值范围.

解:(1)当时,f′(x)==
其对称轴为直线x=-b,当,解得
,b无解,
所以b的取值范围为;(4分)
(2)因为f′(x)=3ax2+2bx+(b-a),
∴f′(0)=b-a,f'(-1)=2a-b,
由于a,b不同时为零,所以,故结论成立.
(3)因为f(x)=ax3+bx2+(b-a)x为奇函数,所以b=0,所以f(x)=ax3-ax,
又f(x)在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0.
所以a=1,即f(x)=x3-x.因为
所以f(x)在上是増函数,
上是减函数,由f(x)=0解得x=±1,x=0,
如图所示,当时,,即,解得
时,,解得;当t=0时,显然不成立;
时,,即,解得
时,,故
所以所求t的取值范围是
分析:(1)当时,f′(x)==,由二次函数的性质,分类讨论可得答案;
(2)因为f′(x)=3ax2+2bx+(b-a),所以f′(0)=b-a,f'(-1)=2a-b,.再由a,b不同时为零,所以,故结论成立;
(3)将“关于x的方程在[-1,t](t>-1)上有且只有一个实数根”转化为“函数f(x)与的交点”问题解决,先求函数f(x)因为f(x)=ax3+bx2+(b-a)x为奇函数,可解得b=0,所以f(x)=ax3-ax,再由“f(x)在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0”解得a,从而得到f(x),再求导,由,知f(x上是増函数,在上是减函数,明确函数的变化规律,再研究两个函数的相对位置求解.
点评:本题主要考查利用导数法研究函数的单调性,主要涉及了函数的奇偶性,函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)当a∈[-2,
1
4
)
时,求f(x)的最大值;
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34
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(-∞,-2)
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