Question

已知：函数y=f（x），x∈R，满足f（1）=2，f（x+y）=f（x）*f（y），且f（x）是增函数，
（1）证明：f（0）=1；
（2）若f（2x）*f（x²-1）≥4成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，可令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）×f（y），得f（0）=f（0）*f（0），解得f（0）；
（2）由题意，可将f（2x）×f（x²-1）变为f（x²-1+2x），由f（1）=2得4=f（2），从而不等式变为f（x²-1+2x）≥f（2），再由函数是增函数，将此不等式变为二次不等式，即可解出不等式的解集．

解答：解：（1）由题意可令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）×f（y），得f（0）=f（0）*f（0），
解得f（0）=0或f（0）=1，
若f（0）=0，令x=1，y=0，则有f（1+0）=f（1）×f（0）=0，这与f（1）=2矛盾，故 f（0）=1
（2）由题意f（2x）×f（x²-1）≥4可变为f（x²-1+2x）≥4=2×2=f（1）×f（1）=f（2），
又f（x）是增函数
故有x²-1+2x≥2，整理得x²-3+2x≥0
解得x≥1或x≤-3
所以x的取值范围是x≥1或x≤-3

点评：本题考点是抽象函数及其应用，对所给的恒等式灵活赋值，及根据怕给的恒等式灵活变形是解本题的关键，第一小题中关键是令x=y=0，排除f（0）=0是本小题难点，第二小题将不等式变为f（x²-1+2x）≥f（2）是解题的关键，其中根据恒等式将4变为f（2）是本题的重点，本题考查了赋值的技巧及根据题设条件转化的能力，考查了转化的思想，