Question

若函数f(x)=

2(a-1)x2+bx+(a-1)-1

的定义域为R，则b-3a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-3]
• B、[-3，+∞）
• C、（-∞，3]
• D、[3，+∞）

Answer 1

分析：根据题意，由根式的意义，可将原题转化为2^{（a-1）x2+bx+（a-1）}≥1对于任意x∈R恒成立问题，进而由指数的性质，可变形为t=（a-1）x²+bx+（a-1）≥0恒成立问题，由二次函数的性质，分两种情况讨论，可进一步转化为利用线性规划求最值的问题，分析可得答案．

解答：解：根据题意，若函数f(x)=

2(a-1)x2+bx+(a-1)-1

的定义域为R，
则2^{（a-1）x2+bx+（a-1）}≥1对于任意x∈R恒成立，
令t=（a-1）x²+bx+（a-1），
由指数函数的性质，即可转化为t=（a-1）x²+bx+（a-1）≥0恒成立，
由二次函数的性质，分析可得，必有
①当a=1时，b=0，则b-3a=-3，
②当a≠1时，有

a＞1 b2≤4(a-1)2

同时成立，
即

a＞1 -2(a-1)≤b≤2(a-1)

成立，
设Z=b-3a，
Z是直线b=3a+t经过

a＞1 -2(a-1)≤b≤2(a-1)

确定的平面上的一点时在y轴上的截距，
由线性规划的知识可得，Z＜3，
综合①可得，Z=b-3a≤3，
故b-3a的取值范围是（-∞，-3]，
故选A．

点评：本题是综合题，涉及知识点较多，有一定的难度，解题关键在于转化为线性规划问题来求Z=b-3a的范围．