【题目】如图, 在四棱锥中, 是线段的中点.
(1)求证: 平面;
(2)若,平面平面,求证: .
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】试题分析:(1)要证明线面平行,一般先证线线平行,考虑到是中点,因此取中点,可先证与平行且相等得平行四边形,从而得;(2)要证线线垂直,可先证线面垂直,当然必须证线线垂直,先由已知是直角梯形,经过计算由勾股定理可得,这样想到如果结论成立,则有平面,反之证明了这个线面垂直就有线线垂直,已知条件中还有平面平面,只要过作于有,则有平面,从而,结论得证.
试题解析:(1)如图,取中点,连结.因为是线段的中点, 所以,
因为,所以,所以四边形为平行四边形, 所以,因为平面, 平面,所以平面.
(2)连结,在四边形中,因为,所以,设,因为,所以,在中, ,所以,从而,在中, 所以,
所以,即.在平面中, 过点作,垂足为,因为平面平面,所以平面,又因为平面,所以,因为平面, 平面,所以平面.因为平面,所以.
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【题目】已知椭圆: 经过点,左右焦点分别为、,圆与直线相交所得弦长为2.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设是椭圆上不在轴上的一个动点, 为坐标原点,过点作的平行线交椭圆于、两个不同的点.
(1)试探究的值是否为一个常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.
(2)记的面积为, 的面积为,令,求的最大值.
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【题目】如图,一辆汽车从市出发沿海岸一条笔直公路以每小时的速度向东均速行驶,汽车开动时,在市南偏东方向距市且与海岸距离为的海上处有一快艇与汽车同时出发,要把一份稿件交给这汽车的司机.
(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中?
(2)在(1)的条件下,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,AB⊥BP,M为AC的中点,N为PD上一点.
(1)若MN∥平面ABP,求证:N为PD的中点;
(2)若平面ABP⊥平面APC,求证:PC⊥平面ABP.
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【题目】2015年12月,京津冀等地数城市指数“爆表”,北方此轮污染为2015年以来最严重的污染过程,为了探究车流量与的浓度是否相关,现采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与的数据如表:
时间 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期七 |
车流量(万辆) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
的浓度(微克/立方米) | 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
(1)由散点图知与具有线性相关关系,求关于的线性回归方程;
的浓度;
(ii)规定:当一天内的浓度平均值在内,空气质量等级为优;当一天内的浓度平均值在内,空气质量等级为良,为使该市某日空气质量为优或者为良,则应控制当天车流量在多少万辆以内?(结果以万辆为单位,保留整数)
参考公式:回归直线的方程是,其中, .
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【题目】已知sinα+cosα= ,α∈(0, ),sin(β﹣ )= ,β∈( , ).
(1)求sin2α和tan2α的值;
(2)求cos(α+2β)的值.
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【题目】设函数f(x)=-x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率;
(2)求函数的单调区间与极值.
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