Question

已知函数f（x）=x³-3（a-1）x²-6ax，x∈R．，
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）当a≥0时，若函数f（x）在区间[-1，2]上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）的导数，根据导数大于0函数单调递增，导数小于0时函数单调递减可得答案．
（2）先确定函数f（x）两个极值点的范围，再由[-1，2]⊆[x₁，x₂]可得答案．

解答：解：（I）f'（x）=3x²-6（a-1）x-6a．
由f'（x）=0解得x1=-1+a-

a2+1

，x2=-1+a+

a2+1

.
当x∈（-∞，x₁）或x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0；
当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0．
所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1+a-

a2+1

）和(-1+a+

a2+1

，+∞)
调递减区间为(-1+a-

a2+1

，-1+a+

a2+1

).
（II）由a≥0，知x1=-1+a-

a2+1

=-1-(

a2+1

-a)＜-1，x2=-1+a+

a2+1

=a+(

a2+1

-1)＞0，
则函数f（x）在[-1，2]上是单调函数
当且仅当[-1，2]⊆[x₁，x₂]，?（9分）
即x2=a-1+

a2+1

≥2，解得a≥

4

3

.
故a的取值范围是[

4

3

，+∞).

点评：本题主要考查函数单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．