Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常数，a∈R
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入求出其导函数，进而求出f'（2）以及f（2）即可求出方程；
（II）先求出其导函数以及导数为0的根，比较根与区间两端点的大小关系，求出其在x∈（0，e]上的单调性以及在x∈（0，e]上的最小值；即可判断出是否存在a．．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x-lx，f'（x）=1-

1

x

=

x-1

x

（1分）
∴切线斜率为f'（2）=

1

2

，切点（2，2-ln2），
∴切线的方程为x-2y+2-2ln2=0
（Ⅱ）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
f'（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

①当a≤0时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）_min=f（e）=ae-1=3⇒a=

4

e

（舍去），所以，此时f（x）无最小值．（11分）
②当0＜

1

a

＜e时，f（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在（

1

a

，e]上单调递增
f（x）_min=f（

1

a

）=1+lna=3，a=e²，满足条件．（12分）
③当

1

a

≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）_min=f（e）=ae-1=3⇒a=

4

e

（舍去），所以，此时f（x）无最小值．
综上，存在实数a=e²，使得当x∈（0，e]时f（x）有最小值3．（14分）

点评：本题主要考查利用导数求切线方程以及在闭区间上的最值问题．是对导数应用的综合考查，也是高考常考考点．．