Question

10．设函数f（x）=（2-t）•2^x+（t-3），其中t为常数，且t∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）求函数g（x）=$\frac{f（x）}{{4}^{x}}$在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用代入法，计算即可得到f（0）；
（2）化简g（x），设m=2^-x，由x∈[0，1]，可得m∈[$\frac{1}{2}$，1]，则h（m）=（t-3）m²+（2-t）m，对t讨论，求出对称轴与区间的关系，结合单调性，即可得到最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=（2-t）•2^x+（t-3），
即有f（0）=（2-t）•2⁰+t-3=-1；
（2）g（x）=$\frac{f（x）}{{4}^{x}}$=$\frac{2-t}{{2}^{x}}$+$\frac{t-3}{{4}^{x}}$，
设m=2^-x，由x∈[0，1]，可得m∈[$\frac{1}{2}$，1]，
则h（m）=（t-3）m²+（2-t）m
当t=3，则h（m）=-m的最小值为-1；
当t＞3时，①当t＞4时，对称轴$\frac{t-2}{2（t-3）}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
最小值为-$\frac{（2-t）^{2}}{4（t-3）}$；
②当3＜t≤4时，区间[$\frac{1}{2}$，1]为减区间，
即有最小值为h（1）=-1；
当t＜3时，对称轴m=$\frac{t-2}{2（t-3）}$＜$\frac{1}{2}$，在[$\frac{1}{2}$，1]递减，
即有最小值为h（1）=-1．
综上可得，当t≤4时，函数g（x）的最小值为-1；
当t＞4时，最小值为-$\frac{（2-t）^{2}}{4（t-3）}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，以及函数的单调性的运用，属于中档题．