Question

如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为         ．

Answer 1

．

：A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．

V_APQR＝V_APQD＝×V_APCD＝××V_ABCD＝V_ABCD；
又，S_BPQ＝S_BCD－S_BDQ－S_CPQ＝(1－－×)S_BCD＝S_BCD，
V_RBPQ＝V_RBCD＝×V_ABCD＝V_ABCD．∴ A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4．
又，可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值：
在面BCD内，延长PQ、BD交于点M，则M为面PQR与棱BD的交点．
由Menelaus定理知，··＝1，而＝，＝，故＝4．
在面ABD内，作射线MR交AB于点N，则N为面PQR与AB的交点．
由Menelaus定理知，··＝1，而＝4，＝1，故＝．
∴ A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4．