Question

14．已知数列{a_n}为等差数列，其中a₂+a₃=8，a₅=3a₂．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}中，b₁=1，b₂=2，从数列{a_n}中取出第b_n项记为c_n，若{c_n}是等比数列，求{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由等差数列的通项公式，可得方程组，解得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）求得等比数列{c_n}的公比，求得b_n=$\frac{1}{2}$（3^n-1+1），运用数列求和方法：分组求和，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₂+a₃=8，a₅=3a₂，
可得2a₁+3d=8，a₁+4d=3（a₁+d），
解得a₁=1，d=2，
则a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）c₁=a${\;}_{{b}_{1}}$=a₁=1，c₂=a${\;}_{{b}_{2}}$=a₂=3，
则等比数列{c_n}的公比为3，
则c_n=c₁q^n-1=3^n-1，
又c_n=a${\;}_{{b}_{n}}$=2b_n-1，
则b_n=$\frac{1}{2}$（3^n-1+1），
设{b_n}的前n项和为S_n，
则S_n=$\frac{1}{2}$（1+3+…+3^n-1+n）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+n）
=$\frac{{3}^{n}+2n-1}{4}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．