Question

6．左、右焦点分别为F₁、F₂的椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与焦点为F的抛物线C₂：x²=2y相交于A、B两点，若四边形ABF₁F₂为矩形，且△ABF的周长为3+2$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）过椭圆C₁上一动点P（不在x轴上）作圆O：x²+y²=1的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，直线CD与椭圆C₁交于E、G两点，O为坐标原点，求△OEG的面积S_△OEG的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据A为通径的端点，可得A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），带入x²=2y得c²=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，结合△ABF的周长2c+$\frac{2{b}^{2}}{a}$+1=3+2$\sqrt{2}$．解出a，b，c值，可得椭圆C₁的方程；
（2）设P（2m，2n）（n≠0），可得以线段OP为直径的圆的方程与单位圆相减，可得直线CD的方程，联立椭圆方程，代入三角形面积公式，结合二次函数的图象和性质，可得△OEG的面积S_△OEG的取值范围．

解答 解：（1）由题意可得A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），带入x²=2y得c²=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
又△ABF的周长为：2c+$\frac{2{b}^{2}}{a}$+1=3+2$\sqrt{2}$，
所以a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
所以椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）设P（2m，2n）（n≠0），则以线段OP为直径的圆的方程为（x-m）²+（y-n）²=m²+n²，
又圆O的方程为x²+y²=1，
两式相减得直线CD的方程为2mx+2ny=1．
由$\left\{\begin{array}{l}2mx+2ny=1\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1\end{array}\right.$得（4m²+2n²）x²-4mx+1-8n²=0，
设E（x₁，y₁）、G（x₂，y₂），
则S_△OEG=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{1}{4n}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{16{m}^{2}+8{n}^{2}-1}{（8{m}^{2}+4{n}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{2}{8{m}^{2}+4{n}^{2}}-\frac{1}{{（8{m}^{2}+4{n}^{2}）}^{2}}}$，
令t=$\frac{1}{8{m}^{2}+4{n}^{2}}$，则S_△OEG=$\sqrt{-2{t}^{2}+4t}$，t∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$]
∵y=-2t²+4t的图象是开口朝下，且以直线t=1为对称轴的抛物线，故t∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$]时，函数为增函数，
故S_△OEG∈$（{\frac{{\sqrt{30}}}{8}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}}]$．

点评 本题考查的知识点是抛物线的性质，椭圆的性质，圆的性质，二次函数的图象和性质，三角形面积公式，综合性可，难度较大．