Question

【题目】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，若椭圆上存在点 使 成立，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】在△PF1F2中，由正弦定理得： ，则由已知得： ，
即：a|PF1|=|cPF2|
设点（x0 ， y0）由焦点半径公式，
得：|PF1|=a+ex0 ， |PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0）
解得：x0= ，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则 >-a
整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜- -1或e＞ -1，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：e∈( -1，1).
故答案为：( -1，1)．
先用正弦定理将条件转化,为a,c与点P的焦半径间的关系,再用焦半径长公式将点P的横坐标表示为a,c的形式,用点P的横坐标的范围整理为关于a,c的齐次不等式,求离心率的范围.