Question

（2013•保定一模）设函数f（x）在R上是可导的偶函数，且满足f （x-1）=-f （x+1），则曲线y=f （x）在点x=10处的切线的斜率为（　　）

A．-1

B．0

C．1

D．2

Answer 1

分析：由已知f （x-1）=-f （x+1），变形后得到函数的周期，然后由可导偶函数的导数是奇函数，且周期不变求解f^′（10）．

解答：解：由f （x-1）=-f （x+1），
得f（x）=-f（x+2），
所以f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
所以函数y=f（x）的周期为4．
因为周期为4的可导偶函数的导数是周期为4的奇函数，
所以曲线y=f （x）在点x=10处的切线的斜率为
f^′（10）=f^′（2）．
因为f（x）=-f（x+2），
所以f^′（x）=-2f^′（x+2），
所以f′(2)=-

1

2

f′(0)=0．
故f^′（10）=0．
故选B．

点评：本题考查了导数的运算，考查了函数的性质，解答的关键是明确可导函数在求导后奇偶性的变化，属中档题．