Question

16．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$．
（1）证明：f（x）+f（1-x）=1；
（2）求f（$\frac{1}{10}$）+f（$\frac{2}{10}$）+…+f（$\frac{8}{10}$）+f（$\frac{9}{10}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用有理数指数幂运算法则能证明f（x）+f（1-x）=1．
（2）由f（x）+f（1-x）=1，得到f（$\frac{1}{10}$）+f（$\frac{2}{10}$）+…+f（$\frac{8}{10}$）+f（$\frac{9}{10}$）=4×$1+f（\frac{5}{10}）$，由此能求出结果．

解答 （1）证明：∵f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$，
∴f（x）+f（1-x）
=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$+$\frac{{2}^{1-x}}{{2}^{1-x}+\sqrt{2}}$
=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}+\frac{2}{2+\sqrt{2}•{2}^{x}}$
=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+{2}^{x}}$
=1．
（2）解：∵f（x）+f（1-x）=1，
∴f（$\frac{1}{10}$）+f（$\frac{2}{10}$）+…+f（$\frac{8}{10}$）+f（$\frac{9}{10}$）
=4×$1+f（\frac{5}{10}）$
=4+$\frac{{2}^{\frac{1}{2}}}{{2}^{\frac{1}{2}}+\sqrt{2}}$
=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查等式的证明，考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则和函数性质的合理运用．