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已知数列{an}的前n项为和Sn,点数学公式在直线数学公式上.数列{bn}满足数学公式,且b3=11,前9项和为153.
(I)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(II)设数学公式,问是否存在m∈N*,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ)由题意,得,即.…(1分)
故当n≥2时,.…(3分)
当n=1时,a1=Sl=6,所以,an=n+5(n∈N*). …(4分)
又bn+1-2bn+1+bn=0,即bn+2-bn+l=bn+1-bn(n∈N*),所以{bn}为等差数列,…(5分)
于是.而b3=11,故.…(7分)
因此,bn=b3+3(n-3)=3n+2,即bn=3n+2(n∈N*). …(8分)
(Ⅱ)…(9分)
①当m为奇数时,m+15为偶数.
此时f(m+15)=3(m+15)+2=3m+47,5f(m)=5(m+5)=5m+25,
所以3m+47=5m+25,m=11. …(1分)
②当m为偶数时,m+15为奇数,
此时f(m+15)=m+15+5=m+20,5f(m)=5(3m+2)=15m+10,
所以m+20=15m+10,m=(舍去). …(13分)
综上,存在唯一正整数m=11,使得f(m+15)=5f(m)成立. …(14分)
分析:(Ⅰ)由已知条件得,根据前n项和与第n项的关系求出当n≥2时的通项公式,再由a1=Sl=6,求得数列{an}的通项公式.利用等差中项证明{bn}为等差数列,求出公差和第三项,从而求得{bn}的通项公式.
(Ⅱ)分m为奇数和m为偶数,分别利用条件f(m+15)=5f(m)求出m的值,可得结论.
点评:本题主要考查数列的函数特性,等差数列的通项公式的应用,现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
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