解:(Ⅰ)由题意,得

,即

.…(1分)
故当n≥2时,

.…(3分)
当n=1时,a
1=S
l=6,所以,a
n=n+5(n∈N
*). …(4分)
又b
n+1-2b
n+1+b
n=0,即b
n+2-b
n+l=b
n+1-b
n(n∈N
*),所以{b
n}为等差数列,…(5分)
于是

.而b
3=11,故

.…(7分)
因此,b
n=b
3+3(n-3)=3n+2,即b
n=3n+2(n∈N
*). …(8分)
(Ⅱ)

…(9分)
①当m为奇数时,m+15为偶数.
此时f(m+15)=3(m+15)+2=3m+47,5f(m)=5(m+5)=5m+25,
所以3m+47=5m+25,m=11. …(1分)
②当m为偶数时,m+15为奇数,
此时f(m+15)=m+15+5=m+20,5f(m)=5(3m+2)=15m+10,
所以m+20=15m+10,m=

(舍去). …(13分)
综上,存在唯一正整数m=11,使得f(m+15)=5f(m)成立. …(14分)
分析:(Ⅰ)由已知条件得

,根据前n项和与第n项的关系求出当n≥2时的通项公式,再由a
1=S
l=6,求得数列{a
n}的通项公式.利用等差中项证明{b
n}为等差数列,求出公差和第三项,从而求得{b
n}的通项公式.
(Ⅱ)分m为奇数和m为偶数,分别利用条件f(m+15)=5f(m)求出m的值,可得结论.
点评:本题主要考查数列的函数特性,等差数列的通项公式的应用,现了分类讨论的数学思想,属于中档题.