Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，M为PD上的点，若PD⊥平面MAB
（I）求证：M为PD的中点；
（II）求二面角A-BM-C的大小．

Answer 1

分析：（I）由PD⊥平面MAB得到PD⊥MA；再结合PA=AD可以证得△APM≌△AMD；从而得到M为PD的中点；
（II）先建空标系，求出各点的坐标，结合上面的结论求出平面MAB的法向量；再设出平面MBC的法向量，根据其和BC，MC垂直，求出平面MBC的法向量的坐标，最后代入向量的夹角计算公式即可求出间直角坐结论．

解答：解：（Ⅰ） 由PD⊥平面MAB，MA?平面MAB，则PD⊥MA
又PA=AD，则△APM≌△AMD，因而PM=DM，即M为PD的中点；
（II）以A原点，以AE、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（0，1，1），
由（I）得：

MP

=（0，-1，1）为平面MAB的法向量，
设平面MBC的法向量n=（x，y，z），
由

MC

=（1，1，-1），

BC

=（0，2，0），
因为

MC

•n=0，

BC

•n=0，即

x+y-z=0 y=0

，
令x=z=1，则n=（1，0，-1），
所以：cos＜

MP

，

n

＞=

0×1+(-1)×0+1×(-1)

02+(-1) 2+1 2 • 1 1+02+(-1)2

=

1

2

，
而二面角A-BM-C钝角，因而其大小为120°．

点评：本题主要考察用空间向量求平面间的夹角．用空间向量求平面间的夹角的关键是求出两个半平面的法向量，结合向量的夹角计算公式即可得到答案．