Question

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量．
（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加
的比例x应在什么范围内？
（Ⅱ）年销售量关于x的函数为y=3240(-x2+2x+

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)，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，要使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？首先表示出本年度的年利润，根据原题中已知的年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量可表示出来．然后列出不等式得到x的取值范围．
（Ⅱ）根据题意，要使本年度的年利润最大，首先表示出本年度年利润的函数表达式，然后求出此函数的导数为零时x的值，并且考虑导数大于零和小于零时函数的增减性可知此时的x值对应的函数值是函数的最值．

解答：解：（Ⅰ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；
出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），
因此本年度的利润为
y=[13×（1+0.7x）-10×（1+x）]×5000×（1+0.4x）
=（3-0.9x）×5000×（1+0.4x）
=-1800x²+1500x+15000（0＜x＜1），
由-1800x²+1500x+15000＞15000得0＜x＜

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（Ⅱ）本年度的利润为f（x）=（3-0.9x）×3240×（-x²+2x+

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）=3240×（0.9x³-4.8x²+4.5x+5）
则f′（x）=3240×（2.7x²-9.6x+4.5）=972（9x-5）（x-3），
由f′(x)=0，解得x=

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或x=3，
当x∈(0，

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)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈(

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，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．
∴当x=

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时，f(x)取极大值f(

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)=20000万元，
因为f（x）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，
所以当x=

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时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．

点评：此题考查学生用数学解决实际问题的能力，以及运用导数求闭区间上的最值的解题思想．