Question

2．已知函数f（x）=x²-1，函数g（x）=2tlnx，其中t≤1．
（Ⅰ）如果函数f（x）与g（x）在x=1处的切线均为l，求切线l的方程及t的值；
（Ⅱ）如果曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求得f（x），g（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得t=1，即可得到切线的斜率和切点坐标，可得切线的方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），“曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h（x）有且仅有一个零点”．对h（x）求导，讨论①当t≤0时，②当t=1时，③当0＜t＜1时，求出单调区间，即可得到零点和所求范围．

解答 解：（Ⅰ）求导，得f′（x）=2x，$g'（x）=\frac{2t}{x}$，（x＞0）．                  
由题意，得切线l的斜率k=f′（1）=g′（1），
即k=2t=2，解得t=1．
又切点坐标为（1，0），
所以切线l的方程为2x-y-2=0；         
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x）=x²-1-2tlnx，x∈（0，+∞）．      
“曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于
“函数y=h（x）有且仅有一个零点”．
求导，得$h'（x）=2x-\frac{2t}{x}=\frac{{2{x^2}-2t}}{x}$．
①当t≤0时，由x∈（0，+∞），得h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）单调递增．
又因为h（1）=0，所以y=h（x）有且仅有一个零点1，符合题意．   
②当t=1时，当x变化时，h'（x）与h（x）的变化情况如下表所示：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘		↗

所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以当x=1时，h（x）_min=h（1）=0，
故y=h（x）有且仅有一个零点1，符合题意．                  
③当0＜t＜1时，令h'（x）=0，解得$x=\sqrt{t}$．
当x变化时，h'（x）与h（x）的变化情况如下表所示：

x	$（0，\sqrt{t}）$	$\sqrt{t}$	$（\sqrt{t}，+∞）$
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘		↗

所以h（x）在$（0，\sqrt{t}）$上单调递减，在$（\sqrt{t}，+∞）$上单调递增，
所以当$x=\sqrt{t}$时，$h（x）{\;_{min}}=h（\sqrt{t}）$．                          
因为h（1）=0，$\sqrt{t}＜1$，且h（x）在$（\sqrt{t}，+∞）$上单调递增，
所以$h（\sqrt{t}）＜h（1）\;=0$．
又因为存在${e^{-\frac{1}{2t}}}∈（0，1）$，$h（{e^{-\frac{1}{2t}}}）\;={e^{-\frac{1}{t}}}-1-2tln{e^{-\frac{1}{2t}}}={e^{-\frac{1}{t}}}＞0$，
所以存在x₀∈（0，1）使得h（x₀）=0，
所以函数y=h（x）存在两个零点x₀，1，与题意不符．
综上，曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点时，t的范围是{t|t≤0，或t=1}．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数的零点问题的解法，注意运用构造法，通过导数求得单调性，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．