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设S=
1+
1
12
+
1
22
+
1+
1
22
+
1
32
+…+
1+
1
20132
+
1
20142
,则不大于S的最大整数为
 
考点:数列的求和
专题:等差数列与等比数列
分析:
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=1+
1
n
-
1
n+1
,利用裂项求和法求出S=
1+
1
12
+
1
22
+
1+
1
22
+
1
32
+…+
1+
1
20132
+
1
20142
=2013+1-
1
2014
,由此能求出不大于S的最大整数为2013.
解答: 解:∵
1+
1
n2
+
1
(n+1)2

=
n2(n+1)2+n2+(n+1)2
n(n+1)

=
(1+n+n2)2
n(n+1)
=
1+n+n2
n(n+1)

=1+
1
n
-
1
n+1

∴S=
1+
1
12
+
1
22
+
1+
1
22
+
1
32
+…+
1+
1
20132
+
1
20142

=1+
1
1
-
1
2
+1+
1
2
-
1
3
+…+1+
1
2013
-
1
2014

=2013+1-
1
2014

∴不大于S的最大整数为2013.
故答案为:2013.
点评:本题考查数列的前n项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意裂项求和法的合理运用.
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1
2
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1
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