Question

（2012•长春一模）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|+|2x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的3个不等式组，先求出每个不等式组的解集，取并集即得所求．
（II）先求出函数f（x）=|x-1|+|2x+2|的最小值等于2，即 f（x）∈[2，+∞），根据f（x）＜a（a∈R）的解集为空集，求得a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）＞5 即|x-1|+|2x+2|＞5，∴①

x＜-1 1-x-2x-2＞5

，或②

-1 ≤ x ≤1 1-x+2x+2＞5

，或③

x ＞ 1 x-1+2x+2＞5

．
解①得 x＜-2，解②得 x∈∅，解③得 x＞

4

3

．
故原不等式的解集为 {x|x＜-2，或 x＞

4

3

}．
（Ⅱ）由于函数f（x）=|x-1|+|2x+2|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离加上 数轴上的x对应点到-1对应点的距离的2倍，
故当x=-1时，函数f（x）=|x-1|+|2x+2|有最小值等于2，即 f（x）∈[2，+∞）．
由于f（x）＜a（a∈R）的解集为空集，则a∈（-∞，2]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，体现了分类讨论与等价转化的数学思想，属于中档题．