分析 构造函数y=$\frac{1}{x}$,利用函数在(0,+∞)是凹函数,由图象结合曲边梯形的面积表示得到证明.
解答 证明:构造函数y=$\frac{1}{x}$,因为此函数在(0,+∞)
是凹函数,由图象可知,
在区间[n,2n]上的n个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积,
所以$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$<${∫}_{n}^{2n}$$\frac{1}{x}$dx
=lnx|${\;}_{n}^{2n}$=ln2n-lnn=ln2≈0.6931<$\frac{7}{10}$.
则对一切正整数n,都有:$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$<$\frac{7}{10}$.
点评 本题考查了不等式的证明,注意采用定积分的几何意义证明,通过面积关系证明,属于难题.
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A. | 1 | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | 2 | D. | 3 |
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A. | $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ | B. | 3 | C. | 2或3 | D. | -$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{5\sqrt{3}}{3}$ |
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