Question

5．求证：对一切正整数n，都有：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$＜$\frac{7}{10}$．

Answer 1

分析 构造函数y=$\frac{1}{x}$，利用函数在（0，+∞）是凹函数，由图象结合曲边梯形的面积表示得到证明．

解答 证明：构造函数y=$\frac{1}{x}$，因为此函数在（0，+∞）
是凹函数，由图象可知，
在区间[n，2n]上的n个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，
所以$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＜${∫}_{n}^{2n}$$\frac{1}{x}$dx
=lnx|${\;}_{n}^{2n}$=ln2n-lnn=ln2≈0.6931＜$\frac{7}{10}$．
则对一切正整数n，都有：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$＜$\frac{7}{10}$．

点评 本题考查了不等式的证明，注意采用定积分的几何意义证明，通过面积关系证明，属于难题．