Question

22．已知函数y=x+有如下性质，如果常数a＞0，那么该函数在（］上是减函数，在［，+∞）上是增函数.

（1）如果函数y＝x+在（0，4］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数，求实常数b的值；

（2）设常数c∈[1，4]，求函数f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值；

 

（3）当n是正整数时，研究函数g（x）=xⁿ-（c＞0）的单调性，并说明理由.

Answer 1

解(1) 由已知得=4, ∴b=4.

     (2) ∵c∈[1,4], ∴∈[1,2],

     于是,当x=时, 函数f(x)=x+取得最小值2.

f(1)－f(2)=,

当1≤c≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+；

当2≤c≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.

 

(3)设0＜x₁＜x₂,g(x₂)－g(x₁)=.

    

     当＜x₁＜x₂时, g(x₂)>g(x₁), 函数g(x)在[,+∞)上是增函数；

     当0＜x₁＜x₂＜时, g(x₂)>g(x₁), 函数g(x)在(0, ]上是减函数.

   当n是奇数时,g(x)是奇函数,

  函数g(x) 在(－∞,－]上是增函数, 在[－,0)上是减函数.

   当n是偶数时, g(x)是偶函数,

   函数g(x)在(－∞,－]上是减函数, 在[－,0)上是增函数.