Question

设有两个二次方程，他们分别是x²+2ax+1=0和ax²+ax+1=0．已知这两个方程中至少有一个有实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：法一：由这两个方程中至少有一个有实数解，可得这两个方程有解，一元二次方程有解可得出判别式△≥0，由此不等式的求出a的两个取值范围，然后求并集；
法二：至少有一个有实数解的反面就是两个都无解，一元二次方程无解可得出判别式△＜0，由此不等式的求出a的取值范围，两范围取交集，这个集合的补集就是要求的a的取值范围．

解答：解：（法一）方程x²+2ax+1=0有实数解⇒△₁=4a²-4≥0（4分）
⇒a≤-1或a≥1（5分）
方程ax²+ax+1=0有实数解⇒

a≠0 △2=a2-4a≥0

（9分）
⇒a＜0或a≥4（10分）
所以，所求实数a的取值范围是（-∞，0）∪[1，+∞）（14分）
（法二）方程x²+2ax+1=0和ax²+ax+1=0均无实数解⇒

△1=4a2-4＜0 △2=a2-4a＜0

（8分）
⇒0＜a＜1（10分）
则两个方程中至少有一个有实数解⇒a≤0或a≥1（12分）
又a≠0，所以，所求实数a的取值范围是（-∞，0）∪[1，+∞）（14分）

点评：本题主要考查一元二次方程的分布与系数的关系，注意“至少有一个”，故可以从反面考虑．