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13.如图,抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=$\frac{1}{2}$(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论:
①无论x取何值,y2的值总是正数;
②a=1;
③当x=0时,y2-y1=4;
④2AB=3AC.
其中正确结论是(  )
A.①②B.②③C.③④D.①④

分析 直接由y2=$\frac{1}{2}$(x-3)2+1≥1>0判断①;把A点坐标代入抛物线y1=a(x+2)2-3求出a值判断②;
由x=0求得y2,y1作差后判断③;由二次函数的对称性求出B,C的坐标,进一步验证2AB=3AC判断④.

解答 解:对于①,y2=$\frac{1}{2}$(x-3)2+1≥1>0,∴无论x取何值,y2的值总是正数正确;
对于②,∵抛物线y1=a(x+2)2-3过点A(1,3),则3=a(1+2)2-3,解得$a=\frac{2}{3}$,②错误;
对于③,y1=$\frac{2}{3}$(x+2)2-3,y2=$\frac{1}{2}$(x-3)2+1,
当x=0时,y2-y1=$\frac{11}{2}-$(-$\frac{1}{3}$)=$\frac{35}{6}$,③错误;
对于④,∵抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=$\frac{1}{2}$(x-3)2+1交于点A(1,3),
∴可求得B(-5,3),C(5,3),求得AB=6,AC=4,则2AB=3AC,④正确.
故选:D.

点评 本题考查命题的真假判断与应用,考查了二次函数的性质,属中档题.

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