Question

13．如图，抛物线y₁=a（x+2）²-3与y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y₂的值总是正数；
②a=1；
③当x=0时，y₂-y₁=4；
④2AB=3AC．
其中正确结论是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ③④
• D． ①④

Answer 1

分析 直接由y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1≥1＞0判断①；把A点坐标代入抛物线y₁=a（x+2）²-3求出a值判断②；
由x=0求得y₂，y₁作差后判断③；由二次函数的对称性求出B，C的坐标，进一步验证2AB=3AC判断④．

解答 解：对于①，y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1≥1＞0，∴无论x取何值，y₂的值总是正数正确；
对于②，∵抛物线y₁=a（x+2）²-3过点A（1，3），则3=a（1+2）²-3，解得$a=\frac{2}{3}$，②错误；
对于③，y₁=$\frac{2}{3}$（x+2）²-3，y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1，
当x=0时，y₂-y₁=$\frac{11}{2}-$（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{35}{6}$，③错误；
对于④，∵抛物线y₁=a（x+2）²-3与y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1交于点A（1，3），
∴可求得B（-5，3），C（5，3），求得AB=6，AC=4，则2AB=3AC，④正确．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了二次函数的性质，属中档题．