精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
((本题14分)如图3,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=
(Ⅰ)求证:MN//平面PAD;
(Ⅱ)求证:平面PMC⊥平面PCD;
(Ⅲ)若二面角P—MC—A是60°的二面角,求四棱锥P—ABCD的体积。

证明:(Ⅰ)如答图所示,⑴设PD的中点为E,连结AE、NE,

由N为PD的中点知ENDC,
又ABCD是矩形,∴DCAB,∴ENAB
又M是AB的中点,∴ENAN,                      …3分
∴AMNE是平行四边形
∴MN∥AE,而AE平面PAD,NM平面PAD
∴MN∥平面PAD                                   …4分
(Ⅱ)∵PA=AD,∴AE⊥PD,
又∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,
∴CD⊥PA,而CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD                                …6分
∴CD⊥AE, ∵PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD,                          
∵MN∥AE,∴MN⊥平面PCD,又MN平面PMC,
∴平面PMC⊥平面PCD.                                               …8分
 (Ⅲ)解:过A作AH⊥CM,交CM的延长线于H,连PH.
  ∵PA⊥平面ABCD,AH⊥CH,∴PH⊥CH,    ∴∠PHA是二面角P-MC-A的平面角,
∴AH=                                        …   10分
  又∵Rt△MHA∽Rt△MBC,
  
     …12分
                               …14分
解法二:(Ⅱ)以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为轴、轴、轴建系
设AB="b  " (b>0)     面PMC法向量 面PDC法向量
        ∴面PMC面PDC                         …8分
(Ⅲ)面MCA法向量       ∵二面角P—MC—A是60°的二面角
                         ∴       …12分
                     …14分
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知是不同的直线,是不重合的平面,给出下面三个命题:
1若////.
2若//,//,则//.
3若是两条异面直线,若//,//,//,////.
上面命题中,正确的序号为  (      )
A.1,2B.1,3C.2,3D.3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是(   )
A.32B.C.48D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知直线∥平面,那么过点且平行于的直线(   )
A.只有一条,不在平面B.只有一条,在平面
C.有两条,不一定都在平面D.有无数条,不一定都在

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

.(本题满分12分)如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1=3,D为AC的中点.
(1)求证:AB1// 面BDC1
(2)求二面角C1—BD—C的余弦值;
(3)在侧棱AA­1上是否存在点P,使得CP⊥面BDC1?并证明你的结论.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

在平行六面体中,以顶点为端点的三条棱长都是,且它们彼此的夹角都是,则以为端点的平行六面体的对角线长是 ( )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

一个多面体的直观图及三视图如右图所示,MN分别是AFBC的中点.请把下面几种正确说法的序号填在横线上                  .
MN∥平面CDEF

③该几何体的表面积等于
④该几何体的外接球(几何体的所有顶点都在球面上)的体积等于.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

下列命题中,所有正确的命题的序号是        
①一条直线和两条直线平行线中的一条垂直,则它也和另一条垂直;
②空间四点A、B、C、D,若直线AB和直线CD是异面直线,那么直线AC和直线BD也是异面直线;
③空间四点若不在同一个平面内,则其中任意三点不在同一条直线上;
④若一条直线l与平面内的两条直线垂直,则.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知球的直径SC= 4,A,B是该球球面上的两点,,则棱锥S-ABC的体积为  (   )
A.B.C.D.19

查看答案和解析>>

同步练习册答案