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(本题满分12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆点,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切。
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PB交随圆C于另一点E,证明直线AE与x轴相交于定点Q.
(Ⅰ)="1." (Ⅱ)直线AE与x轴相交于定点Q(1,0)。

试题分析:(1)根据椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为得到a,c的比值,以原点为圆点,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切。那么利用线与圆相切,利用点到直线的距离公式得到圆的半径。求解得到结论。
(2)由题意知直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为y=k(x-4).与椭圆方程联立,然后结合韦达定理,得到k的表达式,进而得到交点定点的坐标。
解:(Ⅰ)由题意知e==,所以e2===.即a2=b2
又因为b==,所以a2=4,b2=3.故椭圆的方程为=1.…4分
(Ⅱ)由题意知直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为y=k(x-4).
,得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0. ①…6分
设点B(x1,y1),E(x2,y2),则A(x1,-y1).直线AE的方程为y-y2=(x-x2).令y=0,得x=x2-.将y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入,
整理,得x=. ②…8分
由①得x1+x2=,x1x2=…10分  代入②整理,得x=1.
所以直线AE与x轴相交于定点Q(1,0).……12分
点评:解决该试题的关键是熟练的运用椭圆的几何性质得到其椭圆的方程,以及联立方程组的思想,结合韦达定理得到k的值,求解得到定点。
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