试题分析:(1)根据椭圆C:
=1(a>b>0)的离心率为
得到a,c的比值,以原点为圆点,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+
=0相切。那么利用线与圆相切,利用点到直线的距离公式得到圆的半径。求解得到结论。
(2)由题意知直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为y=k(x-4).与椭圆方程联立,然后结合韦达定理,得到k的表达式,进而得到交点定点的坐标。
解:(Ⅰ)由题意知e=
=
,所以e
2=
=
=
.即a
2=
b
2.
又因为b=
=
,所以a
2=4,b
2=3.故椭圆的方程为
=1.…4分
(Ⅱ)由题意知直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为y=k(x-4).
由
,得(4k
2+3)x
2-32k
2x+64k
2-12=0. ①…6分
设点B(x
1,y
1),E(x
2,y
2),则A(x
1,-y
1).直线AE的方程为y-y
2=
(x-x
2).令y=0,得x=x
2-
.将y
1=k(x
1-4),y
2=k(x
2-4)代入,
整理,得x=
. ②…8分
由①得x
1+x
2=
,x
1x
2=
…10分 代入②整理,得x=1.
所以直线AE与x轴相交于定点Q(1,0).……12分
点评:解决该试题的关键是熟练的运用椭圆的几何性质得到其椭圆的方程,以及联立方程组的思想,结合韦达定理得到k的值,求解得到定点。