Question

【题目】如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．
（1）求证：SA⊥BD；
（2）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．

Answer 1

【答案】
（1）如图示：

证明：设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，

又已知SC⊥BD，SC⊥CO=C，所以BD⊥平面SOC，

∵△ABD是正三角形，∴AO是BD的中垂线，

故A、O、C在同一直线上，

故平面SAC即平面SOC，

由BD⊥OC，BD⊥SC，得BD⊥平面SAC，

故SA⊥BD

（2）证明：取AB中点N，连接DM，MN，DN，

∵M是SA的中点，∴MN∥BE，

∵△ABD是正三解形，∴DN⊥AB，

∵∠BCD=120°得∠CBD=30°，∴∠ABC=90°，即BC⊥AB，

所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BSC，

故DM∥平面SBC．

【解析】（1）根据线面垂直以及线段的垂直平分线的性质证明即可；（2）由线线平行到面面平行从而推出线面平行即可．
【考点精析】利用直线与平面平行的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．