Question

1．若a，b∈R，命题p：直线y=ax+b与圆x²+y²=1相交；命题$q：a＞\sqrt{{b^2}-1}$，则p是q的 （　　）

• A． 必要不充分条件
• B． 充分不必要条件
• C． 充分必要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 分别求出命题p和q的等价条件，利用充分必要的定义进行判断；

解答 解：若直线y=ax+b与圆x²+y²=1相交，
则圆心到直线的距离d=$\frac{|b|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$＜1，即|b|＜$\sqrt{{a}^{2}+1}$，此时a＞$\sqrt{{b}^{2}-1}$不一定成立，
若a＞$\sqrt{{b}^{2}-1}$，
则等价于$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{|b|≥1}\\{{a}^{2}＞{b}^{2}-1}\end{array}\right.$，即b²＜a²+1，即|b|＜$\sqrt{{a}^{2}+1}$，成立，
∴p是q必要不充分条件，
故选A；

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线和圆的位置关系求出命题的等价条件是解决本题的关键．