Question

设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=

3

2

，则弦长|AB|等于

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出抛物线焦点为F（1，0），准线为l：x=-1．设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-1），由AB方程与抛物线方程消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系算出算出P的坐标，根据|PF|=

3

2

，利用点到两点间的距离公式解出k²=2，从而算出x₁+x₂=4，最后根据抛物线的定义可得弦长|AB|的值．

解答： 解：∵抛物线方程为y²=4x，
∴2p=4，p=2，可得抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=-1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-1），
代入抛物线方程消去y，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，
∵过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，
∴设P的坐标为（x₀，y₀），可得y₀=

1

2

（y₁+y₂），
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=k•

2k2+4

k2

-2k=

4

k

，
得到y₀=

2

k

，所以x₀=

1

k2

，可得M（

1

k2

，

2

k

）．
∵|PF|=

3

2

，∴

(1- 1 k2 )2+ 4 k2

=

3

2

，解之得k²=2，
因此x₁+x₂=

2k2+4

k2

=4，根据抛物线的定义可得|AB|=x₁+x₂+p=4+2=6．
故答案为：6

点评：本题给出抛物线满足的条件，求抛物线经过焦点的弦AB的长．着重考查了抛物线的定义、标准方程与简单几何性质的知识，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．