Question

(本小题13分)已知函数f(x)＝－ (a>0，x>0)．

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；

(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．

 

Answer 1

【答案】

(1)证明：见解析；(2) a＝. 

【解析】本事主要是考查了函数的单调性和函数值域的求解的综合运用。

（1）先分析函数的定义域内任意两个变量，代入函数解析式中作差，然后变形定号，下结论。

（2）∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，那么可知又f(x)在[，2]上单调递增，可知最大值和最小值在端点值取得求解得到参数a的值。

解：(1)证明：设x₂>x₁>0，则x₂－x₁>0，x₁x₂>0.

∵f(x₂)－f(x₁)＝(－)－( －)＝－

＝>0，

∴f(x₂)>f(x₁)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．………………6分

(2)∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，

又f(x)在[，2]上单调递增，∴f()＝，f(2)＝2，

易得a＝.                      ………………13分