Question

16．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数$f（x）={（\frac{1}{4}）^x}+a•{（\frac{1}{2}）^x}-1$，g（x）=$\frac{1-m•{2}^{x}}{1+m•{2}^{x}}$．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（Ⅱ）当m=1时，判断函数g（x）的奇偶性并证明，并判断g（x）是否有上界，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）在[0，+∞）上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（ IV）若m＞0，函数g（x）在[0，1]上的上界是G，求G的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的解析式，由f（x）的单调性可得f（x）的值域，即可判断；
（Ⅱ）运用奇偶性的定义，求出g（x）的值域，即可判断；
（Ⅲ）由题意知，|f（x）|≤2在[0，+∞）上恒成立-2≤f（x）≤2，运用参数分离和指数函数的值域，即可得到a的范围；
（Ⅳ）化简g（x）=$\frac{1-m•{2}^{x}}{1+m•{2}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+m•{2}^{x}}$，判断g（x）在[0，1]上递减，对m讨论，即可得到G的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=1+（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x，
因为f（x）在（-∞，0）上递减，所以f（x）＞f（0）=1，
即f（x）在（-∞，1）的值域为（1，+∞），
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，
所以函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数；
（Ⅱ）根据题意，显然g（x）定义域为R，∴$g（-x）=\frac{{1-{2^{-x}}}}{{1+{2^{-x}}}}=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=-g（x）$，
∴g（x）为奇函数，$g（x）=-1+\frac{2}{{{2^x}+1}}∈（-1，1）$，
∴|g（x）|＜1，存在M=1为g（x）的上界；
（Ⅲ）由题意知，|f（x）|≤2在[0，+∞）上恒成立-2≤f（x）≤2，
$-1-{（{\left.{\frac{1}{4}}）}\right.^x}≤a•{（{\frac{1}{2}}）^x}≤3-{（{\left.{\frac{1}{4}}）}\right.^x}$，
∴$-{2^x}-\frac{1}{2^x}≤a≤3•{2^x}-\frac{1}{2^x}$在[0，+∞）恒成立，
∴当x∈[0，+∞），2^x∈[1，+∞）
∴$-{2^x}-\frac{1}{2^x}≤-2，3•{2^x}-\frac{1}{2^x}≥2$，
∴a∈[-2，2]；
（Ⅳ）g（x）=$\frac{1-m•{2}^{x}}{1+m•{2}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+m•{2}^{x}}$，
∵m＞0，x∈[0，1]∴g（x）在[0，1]上递减，
∴g（1）≤g（x）≤g（0）即$\frac{1-2m}{1+2m}$≤g（x）≤$\frac{1-m}{1+m}$，
①当|$\frac{1-m}{1+m}$|≥|$\frac{1-2m}{1+2m}$|，即m∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]时，|g（x）|≤|$\frac{1-m}{1+m}$|，此时$G≥\frac{1-m}{1+m}$，
②当|$\frac{1-m}{1+m}$|＜|$\frac{1-2m}{1+2m}$|，即m∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）时，|g（x）|≤|$\frac{1-2m}{1+2m}$|，此时 $G≥\frac{2m-1}{2m+1}$，
综上所述，当m∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]时，$G≥\frac{1-m}{1+m}$；
当m∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）时，$G≥\frac{2m-1}{2m+1}$．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查函数的值域和奇偶性的判断，以及不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性解决，属于中档题．