Question

ABC的面积S满足

3

≤S≤3，且

AB

•

BC

=6，AB与BC的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围．
（2）求函数f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ的最小值．

Answer 1

分析：（1）数量积列等式，三角形面积列不等式，消元可解θ的取值范围．
（2）通过三角函数的基本关系，以及二倍角公式化简函数f（θ），根据θ的取值范围，求最小值．

解答：解：（1）由题意知：

AB

•

BC

=|

AB

||

BC

|cosθ=6，①
S=

1

2

|

AB

||

BC

|sin（π-θ）
=

1

2

|

AB

||

BC

|sinθ，②
②÷①得

S

6

=

1

2

tanθ，即3tanθ=S．
由

3

≤S≤3，得

3

≤3tanθ≤3，即

3

3

≤tanθ≤1．
又θ为

AB

与

BC

的夹角，
∴θ∈[0，π]，∴θ∈[

π

6

，

π

4

]．
（2）f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ
=1+sin2θ+2cos²θ
=2+sin2θ+cos2θ
=2+

2

sin（2θ+

π

4

）．
∵θ∈[

π

6

，

π

4

]，∴2θ+

π

4

∈[

7π

12

，

3π

4

]．
∴当2θ+

π

4

=

3π

4

，θ=

π

4

时，f（θ）取最小值3．

点评：本题考查平面向量数量积的运算，三角函数的最值，三角函数的基本关系，二倍角公式等知识，是中档题．