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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．

    （1）若直线与曲线交于两点，求的值；

    （2）求曲线的内接矩形的周长的最大值．

    【答案】（1）2；（2）16．

    【解析】

    试题分析：（1）首先求出曲线的普通方程和焦点坐标，然后将直线的参数方程代入曲线的普通方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义，即可得到结果；（2）首先根据椭圆参数方程设出动点的坐标，然后将矩形周长用三角函数表示出，再利用三角函数的有界性求解．

    试题解析：（1）已知曲线的标准方程为，则其左焦点为，则，

    将直线的参数方程与曲线的方程联立，

    得，则．………………5分

    （2）由曲线的方程为，可设曲线上的动点，

    则以为顶点的内接矩形周长为，

    因此该内接矩形周长的最大值为16．………………10分

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    （1）若，求证：为等比数列；

    （2）若．

    ① 求数列的通项公式；

    ② 是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．

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    （1）求f（0）及f（﹣1）的值；

    （2）判断函数f（x）的单调性，并利用定义加以证明；

    （3）求解不等式f（2x）﹣f（x2+3x）＜4．

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    【题目】如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点.

    （1）求证：平面；

    （2）若在边上，，求证：.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.

    x

    3

    4

    5

    6

    y

    2.5

    3

    4

    4.5

    (1)请画出上表数据的散点图．

    (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.

    (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤．

    (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)

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    【题目】设椭圆的左右焦点分别为，，点满足．

    (Ⅰ) 求椭圆的离心率；

    (Ⅱ) 设直线与椭圆相交于两点，若直线与圆相交于，两点，且，求椭圆的方程．

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