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设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数(重根按一个计).
(Ⅰ)求方程x2+bx+c=0有实根的概率;
(Ⅱ)求ξ的分布列和数学期望;

解:(Ⅰ)由题意知:设基本事件空间为Ω,
记“方程x2+bx+c=0没有实根”为事件A,
“方程x2+bx+c=0有且仅有一个实根”为事件B,
“方程x2+bx+c=0有两个相异实数”为事件C
则Ω={(b,c)|b,c=1,2,3,4,5,6}
Ω是的基本事件总数为36个,
A={(b,c)|b2-4c<0,b,c=1,2,3,4,5,6},A中的基本事件总数为17个;
B={(b,c)|b2-4c=0,b,c=1,2,3,4,5,6},B中的基本事件总数为2个;
C={(b,c)|b2-4c>0,b,c=1,2,3,4,5,6},C中的基本事件总数为17个;
又因为B,C是互斥事件,
∴所求概率P=P(B)+P(C)==
(Ⅱ)由题意,ξ的可能取值为0,1,2,则
P(ξ=0)=
P(ξ=1)=
P(ξ=2)=
∴ξ的分布列为:

∴ξ的数学期望Eξ=0×=1
分析:(1)由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的所有事件根据分步计数原理知是36,满足条件的事件是方程x2+bx+c=0有实根包括有一个实根,有两个实根,这两种结果是互斥的,根据互斥事件的概率公式得到结果.
(2)由题意知实根的个数只有三种结果,0、1、2,根据上一问的计算可以写出当变量取值时对应的概率,写出分布列,算出期望.
点评:本题主要考查离散型随机变量的分布列和古典概型,古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,本题可以列举出所有事件,概率问题同其他的知识点结合在一起,实际上是以概率问题为载体,主要考查的是另一个知识点,本题考查一元二次方程的解.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数(重根按一个计).
(1)求方程x2+bx+c=0有实根的概率;
(2)(理)求ξ的分布列和数学期望
(文)求P(ξ=1)的值
(3)(理)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+bx+c=0有实根的概率.

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设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有5的条件下,b>c的概率为
 

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设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数.
(1)求b≤2且c≥3的概率;
(2)求函数f(x)=x2+2bx+c图象与x轴无交点的概率;
(3)用随机变量ξ表示函数f(x)=x2+2bx+c图象与x轴交点的个数,求ξ的分布列和数学期望.

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(II)求函数f(x)=x2+bx+c与x轴无交点的概率.

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